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Subo la tarea de puntos extras en cuanto llegue a casa. La culpa es de 4 B de la tarde me estresaron y ando haciendo meditación en un centro recreativo.
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INTEGRALES DE FUNCIONES EXPONENCIALES
Las siguientes fórmulas se emplean para integrar funciones exponenciales
$\int a^v dv=\frac{a^v}{ln a}+C$
$\int e^vdv=e^v+C$
Ejemplos
$\int e^{2x}dx$
Solución
$\int e^{2x}dx$ cambio de variable a $v=2x$ donde $dv=2dx$ despejando $dx=\frac{dv}{2}$ sustituimos y $\int e^v \frac{dv}{2}=\frac{1}{2}\int d^vdv=\frac{1}{2}e^v+C$ regresando a la variable $x$ tenemos
$\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}e^{v}+C=\frac{1}{2}e^{2x}+C$
$\int e^{x/3}dx$
Solución
$\int e^{x/3}dx$ cambio de variable a $v=x/3$ donde $dv=dx/3$ despejando $dx=3dv$. Sustituimos en la integral $\int 3e^vdv=3\int e^vdv=3e^v+C$ regresando a la variable $x$ $int e^{x/3}dx=3 3e^{x/3}+C$
$\int a^{ax}dx$
Solución
$\frac{dx}{e^{2x}}$
Solución
TAREA
$\int e^{ax+b}dx$
$\int (2^x+e^x)dx$
$\int 2x^2 e^{x^3}dx$
$\int (2x-3)e^{x^2-3x+1}dx$
$\int \frac{1-e^{ax}}{e^{ax}}dx$
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Las siguientes fórmulas se emplean para integrar funciones exponenciales
$\int a^v dv=\frac{a^v}{ln a}+C$
$\int e^vdv=e^v+C$
Ejemplos
$\int e^{2x}dx$
Solución
$\int e^{2x}dx$ cambio de variable a $v=2x$ donde $dv=2dx$ despejando $dx=\frac{dv}{2}$ sustituimos y $\int e^v \frac{dv}{2}=\frac{1}{2}\int d^vdv=\frac{1}{2}e^v+C$ regresando a la variable $x$ tenemos
$\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}e^{v}+C=\frac{1}{2}e^{2x}+C$
$\int e^{x/3}dx$
Solución
$\int e^{x/3}dx$ cambio de variable a $v=x/3$ donde $dv=dx/3$ despejando $dx=3dv$. Sustituimos en la integral $\int 3e^vdv=3\int e^vdv=3e^v+C$ regresando a la variable $x$ $int e^{x/3}dx=3 3e^{x/3}+C$
$\int a^{ax}dx$
Solución
$\frac{dx}{e^{2x}}$
Solución
TAREA
$\int e^{ax+b}dx$
$\int (2^x+e^x)dx$
$\int 2x^2 e^{x^3}dx$
$\int (2x-3)e^{x^2-3x+1}dx$
$\int \frac{1-e^{ax}}{e^{ax}}dx$
Algunas integrales no se pueden resolver de forma inmediata y se requiere hacer un cambio de variable.
En las integrales que se resuelven por cambio de variable, se sigue el siguiente procedimiento:
- Se identifica la variable.
- Se obtiene la diferencial de esta variable y se efectúa el despeje de la misma.
- Se realiza la sustitución correspondiente.
1.- Determine el resultado de $\int 2(2+x^2)^{3/2}xdx$
2.- Determine el resultado de $\int \sqrt{m+nx}dx$ donde m y n son constantes
3.- Determine el resultado de $\int x(2+x^3)^3dx$
4.- Determine el resultado de $\int \frac{dx}{2+3x}$
5.- Determine el resultado de $\int -\frac{e^{\theta}d\theta}{c+ae^{\theta}}$
6.- Determine el resultado de $\int \frac{sen(5x)dx}{1-cos(5x)}$
Tarea (Sustitución de variable)
$\int (3 x+4)^6 dx$
$\int (t^2 - 6)^2 dt$
$\int x^2 (x+1)^3dx$
$\int \sqrt{5x-3}dx$
$\int \frac{x}{3x^2-4}dx$
$\int\frac{2x-3}{x^2-3x+6}dx$
$\int\frac{1}{\sqrt[3]{9x-1}}dx$
INTEGRALES INMEDIATAS
$\int (du+dv-dw)=\int du +\int dv-\int dw$
$\int a dx= a\int dx$
$\int dx=x+C$
$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, $n\neq -1$
$\int \frac{dx}{x}=ln x+C$
$\int a^x dx=\frac{a^x}{ln a}+C$
$\int e^x dx=e^x+C$
Integrales trigonométricas
$\int sen(x)dx=-cos(x)+C$
$\int cos(x)dx=sen(x)+C$
$\int sec^2(x)dx=tan(x)+C$
$\int csc^2(x)dx=-cot(x)+C$
$\int sec(x)tan(x)dx=sec(x)+C$
$\int csc(x)cot(x)dx=-csc(x)+C$
$\int tan(x)dx=-ln(csc(x))+C=ln(sec(x))+C$
$\int cot(x)dx=ln(sen(x))+C$
$\int sec(x)dx=ln(sec(x)+tan(x))+C$
$\int csc(x)dx=ln(csc(x)-cot(x))+C$
Procedimiento para integrar:
1.- Determine el resultado de $\int x^4dx$
Solución $\int x^4dx=\frac{x^{4+1}}{4+1}+C=\frac{x^5}{5}+C$
2.- Determine el resultado de $\int 3ab^2x^4dx$ donde a y b son constantes
Solución $\int 3ab^2x^4dx=3ab^2\int x^4dx=3ab^2\frac{x^{4+1}}{4+1}+C=3ab^2\frac{x^5}{5}+C$
3.- Determine el resultado de $\int(5x^3+2x^2-6xx+3)dx$
Solución $\int(5x^3+2x^2-6x+3)dx=\int 5x^3dx +\int 2x^2dx-\int 6xdx+\int 3dx$
$=5\int x^3dx +2\int x^2dx-6\int xdx+3\int dx=5\frac{x^{3+1}}{3+1}+2\frac{x^{2+1}}{2+1}-6\frac{x^{1+1}}{1+1}+3x+C$
$=5\frac{x^{4}}{4}+2\frac{x^{3}}{3}-6\frac{x^{2}}{2}+3x+C$
4.- Determine el resultado de $\int\frac{dx}{\sqrt{x}}$
Solución $\int\frac{dx}{\sqrt{x}}=\int x^{-1/2}dx=\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1}+C=\frac{x^{1/2}}{1/2}+C=2\sqrt{x}+C$
5.- Determine el resultado de $\int-\frac{3dx}{x^3}$
Solución $\int-\frac{3dx}{x^3}=-3\int x^3dx=-3\frac{x^{3+1}{3+1}}+C=-3\frac{x^4}{4}+C$
Tarea
$\int{b}{x^4}dx$ donde b es una constante.
$\int b x^4 dx$
$\int \frac{1}{\sqrt[4]{x}}dx$
$\int \frac{a}{bx}dx$
$\int (\frac{5}{\sqrt[3]{x}}-4\sqrt[3]{x})dx$
$\int (8x^5-5x^4-4x^3-6x^2-2x-3)dx$
$\int (y^{5/2}-y^{4/2}-2y^{1/4}-\sqrt{y})dy$
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Definición.- Si F(x) es una función con derivada f '(x) entonces, F(x) se llama integral indefinida o antiderivada de f '(x)
$$\int x f' (x) dx=F(x)+C$$
$\int (du+dv-dw)=\int du +\int dv-\int dw$
$\int a dx= a\int dx$
$\int dx=x+C$
$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, $n\neq -1$
$\int \frac{dx}{x}=ln x+C$
$\int a^x dx=\frac{a^x}{ln a}+C$
$\int e^x dx=e^x+C$
Integrales trigonométricas
$\int sen(x)dx=-cos(x)+C$
$\int cos(x)dx=sen(x)+C$
$\int sec^2(x)dx=tan(x)+C$
$\int csc^2(x)dx=-cot(x)+C$
$\int sec(x)tan(x)dx=sec(x)+C$
$\int csc(x)cot(x)dx=-csc(x)+C$
$\int tan(x)dx=-ln(csc(x))+C=ln(sec(x))+C$
$\int cot(x)dx=ln(sen(x))+C$
$\int sec(x)dx=ln(sec(x)+tan(x))+C$
$\int csc(x)dx=ln(csc(x)-cot(x))+C$
Procedimiento para integrar:
- Observar lo que se encuentre dentro de la integral.
- Ver si se puede separar en una suma de integrales como en la integral inmediata 1.
- Checar si existe un coeficiente que podamos sacar de la integral como en la integral inmediata 2.
- Ver si se puede integrar con cualquiera de las integrales inmediatas anteriores, en caso de que no fuese posible, tendremos que probar con el método de sustitución.
1.- Determine el resultado de $\int x^4dx$
Solución $\int x^4dx=\frac{x^{4+1}}{4+1}+C=\frac{x^5}{5}+C$
2.- Determine el resultado de $\int 3ab^2x^4dx$ donde a y b son constantes
Solución $\int 3ab^2x^4dx=3ab^2\int x^4dx=3ab^2\frac{x^{4+1}}{4+1}+C=3ab^2\frac{x^5}{5}+C$
3.- Determine el resultado de $\int(5x^3+2x^2-6xx+3)dx$
Solución $\int(5x^3+2x^2-6x+3)dx=\int 5x^3dx +\int 2x^2dx-\int 6xdx+\int 3dx$
$=5\int x^3dx +2\int x^2dx-6\int xdx+3\int dx=5\frac{x^{3+1}}{3+1}+2\frac{x^{2+1}}{2+1}-6\frac{x^{1+1}}{1+1}+3x+C$
$=5\frac{x^{4}}{4}+2\frac{x^{3}}{3}-6\frac{x^{2}}{2}+3x+C$
4.- Determine el resultado de $\int\frac{dx}{\sqrt{x}}$
Solución $\int\frac{dx}{\sqrt{x}}=\int x^{-1/2}dx=\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1}+C=\frac{x^{1/2}}{1/2}+C=2\sqrt{x}+C$
5.- Determine el resultado de $\int-\frac{3dx}{x^3}$
Solución $\int-\frac{3dx}{x^3}=-3\int x^3dx=-3\frac{x^{3+1}{3+1}}+C=-3\frac{x^4}{4}+C$
Tarea
$\int{b}{x^4}dx$ donde b es una constante.
$\int b x^4 dx$
$\int \frac{1}{\sqrt[4]{x}}dx$
$\int \frac{a}{bx}dx$
$\int (\frac{5}{\sqrt[3]{x}}-4\sqrt[3]{x})dx$
$\int (8x^5-5x^4-4x^3-6x^2-2x-3)dx$
$\int (y^{5/2}-y^{4/2}-2y^{1/4}-\sqrt{y})dy$
PRIMERA TAREA
Recuerden que $\sqrt{-1}=i$ y $i^2=-1$
Una raíz negativa $\sqrt{-a}$ donde $a$ sea cualquier número de los reales (1,-1,2,-2,2.1,-2,1,4/3,-4/3, etc) se va a escribir como $\sqrt{-a}=\sqrt{a}i$
La suma de dos números complejos será: $(a+ib)+(c+id)=(a+c)+(b+d)i$, es decir, sumas los números reales con los números reales y los números imaginarios con los números imaginarios.
El número complejo conjugado de $a+ib$ será $a-ib$ y el número complejo de $a-ib$ será $a+ib$
El producto de 2 números complejos $a+ib$ y $c+id$ es $(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+(b+d)i$
Grupo "A" Turno Matutino
1) Escribe los siguientes números en términos de $i$
$\sqrt{-81}$ Solución $\sqrt{-81}=\sqrt{(81)(-1)}=\sqrt{81}\sqrt{-1}=9i$
$\sqrt{-64}$ Solución $\sqrt{-64}=\sqrt{(64)(-1)}=\sqrt{64}\sqrt{-1}=8i$
$\sqrt{-100}$ Solución $\sqrt{-100}=\sqrt{(100)(-1)}=\sqrt{100}\sqrt{-1}=10i$
2) Realiza las siguientes sumas
$(4i+2)+(8+3i)$ Solución $(4i+2)+(8+3i)=4i+2+8+3i=(2+8)+(4i+3i)=10+7i$
$(8-3i)+(5-25i)$ Solución $(8-3i)+(5-25i)=8-3i+5-25i=(8+5)+(-3i-25i)=13+(-28i)=13-28i$
3) Obtén el producto
$(3+i)(2+8i)$ Solución $3(2+8i)+i(2+8i)=(6+24i)+(2i+8i^2)=6+24i+2i+8(-1)=(6-8)+(24i+2i)=-2+26i$
Tarea Extra
Demostrar que:
1) $(\sqrt{2}-i)-i(1-i\sqrt{2})=-2i$
2) $(2,-3)(-2,1)=(-1,8)$
3) $(3,1)(3,-1)(\frac{1}{5},\frac{1}{10})=(2,1)$
Grupo "B" Turno Matutino
1) Escribe los siguientes números en términos de $i$
$\sqrt{-100}$ Solución $\sqrt{-100}=\sqrt{(100)(-1)}=\sqrt{100}\sqrt{-1}=10i$
$\sqrt{-121}$ Solución $\sqrt{-121}=\sqrt{(121)(-1)}=\sqrt{121}\sqrt{-1}=11i$
2) Obtén el complejo conjugado de los números
$1-7i$ Solución $1+7i$
$2+30i$ Solución $2-30i$
3) Realiza las siguientes sumas
$(8+4i)+(16+10i)$ Solución $(8+4i)+(16+10i)=(8+16)+(4+10)i=24+14i$
$(2i-8)+(2+8i)$ Solución $(2i-8)+(2+8i)= (-8+2)+(2+8)i=-6+10i$
4) Realiza los productos
$(2-3i)(1+i)$ Solución $(2-3i)(1+i)=2(1+i)-3i(1+i)=(2+2i)-(3i+3i^2)=(2+2i)-(3i-3)=2+2i-3i+3=(2+3)+(2i-3i)=5-i$
$(8i+3)(-8i+3)$ Solución $(8i+3)(-8i+3)=((3)(3)+(8)(8))+(8-8)i=(9+64)+0i=73$
Grupo "A" Turno Vespertino
1) Demostrar que si $z=x+yi$ y $z^*=x-yi$ entonces $z\cdot z^*=x^2+y^2$
Solución $(x+iy)(x-iy)=x(x-iy)+iy(x-iy)=(x^2-ixy)+(ixy-y^2i^2)=x^2-ixy+ixy+y^2=x^2+y^2$
2) Resolver la suma $(4+i)+(-2i+2)$ Solución $(4+i)+(-2i+2)=(4+2)+(1-2)i=6-i$
3) Resolver la suma $(3-2i)+(-1+3i)$ Solución $(3-2i)+(-1+3i)=(3-1)+(3-2)i=-1+i$
4) Resolver el producto $(4+i)(-2i+2)$ Solución $(4+i)(-2i+2)=4(2-2i)+i(2-2i)=8-8i+2i-2i^2=8-6i+2=10-6i$
5) Grafica el punto $z=8+2i$ Solución Es el punto z=(8,2) donde en el eje x es 8 y en el eje $y$ es 2.
6) Encontrar el termino conjugado del número $z=i$ Solución $z^*=-i$
Grupo "B" Turno Vespertino
1) Escribir en números imaginarios $\sqrt{-81}$, $\sqrt{-100}$ y $\sqrt{-121}$
Solución
$\sqrt{-81}=\sqrt{81}\sqrt{-1}=9i$
$\sqrt{-100}=\sqrt{100}\sqrt{-1}=10i$
$\sqrt{-121}=\sqrt{121}\sqrt{-1}=11i$
2) Graficar los puntos $z_1=8+2i$, $z_2=-4+7i$, $z_3=-10-9i$ y $z_4=10$
Solución
3) Resolver la suma $(4+i)+(-2i+2)$ Solución $(4+i)+(-2i+2)=(4+2)+(1-2)i=6-i$
4) Resolver la suma $(3-2i)+(-1+3i)$ Solución $(3-2i)+(-1+3i)=3(-1+3i)-2i(-1+3i)=(-3+9i)-(-2i-3i^2)=-3+9i+2i-3=-6+11i$
5) Resolver la suma $(2+i)+(2-i)$ Solución $(2+i)+(2-i)=(2+2)+(i-i)=4$
6) Resolver el producto $(2+i)(2-i)$ Solución $(2+i)(2-i)=2(2-i)+i(2-i)=(4-2i)+(2i-i^2)=(4-2i)+(2i-(-1))=4+1-2i+2i=5$
7) Resolver el producto $(3-2i)(-1+3i)$ Solución $(3-2i)(-1+3i)=3(-1+3i)-2i(-1+3i)=(-3+9i)+(2i-6i^2)=(-3+9i)+(6+2i)=6-3+9i+2i=3+11i$
Si gustan leer más acerca de este tema vean la siguiente página
http://es.wikipedia.org/wiki/Número_imaginario
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Recuerden que $\sqrt{-1}=i$ y $i^2=-1$
Una raíz negativa $\sqrt{-a}$ donde $a$ sea cualquier número de los reales (1,-1,2,-2,2.1,-2,1,4/3,-4/3, etc) se va a escribir como $\sqrt{-a}=\sqrt{a}i$
La suma de dos números complejos será: $(a+ib)+(c+id)=(a+c)+(b+d)i$, es decir, sumas los números reales con los números reales y los números imaginarios con los números imaginarios.
El número complejo conjugado de $a+ib$ será $a-ib$ y el número complejo de $a-ib$ será $a+ib$
El producto de 2 números complejos $a+ib$ y $c+id$ es $(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+(b+d)i$
Grupo "A" Turno Matutino
1) Escribe los siguientes números en términos de $i$
$\sqrt{-81}$ Solución $\sqrt{-81}=\sqrt{(81)(-1)}=\sqrt{81}\sqrt{-1}=9i$
$\sqrt{-64}$ Solución $\sqrt{-64}=\sqrt{(64)(-1)}=\sqrt{64}\sqrt{-1}=8i$
$\sqrt{-100}$ Solución $\sqrt{-100}=\sqrt{(100)(-1)}=\sqrt{100}\sqrt{-1}=10i$
2) Realiza las siguientes sumas
$(4i+2)+(8+3i)$ Solución $(4i+2)+(8+3i)=4i+2+8+3i=(2+8)+(4i+3i)=10+7i$
$(8-3i)+(5-25i)$ Solución $(8-3i)+(5-25i)=8-3i+5-25i=(8+5)+(-3i-25i)=13+(-28i)=13-28i$
3) Obtén el producto
$(3+i)(2+8i)$ Solución $3(2+8i)+i(2+8i)=(6+24i)+(2i+8i^2)=6+24i+2i+8(-1)=(6-8)+(24i+2i)=-2+26i$
Tarea Extra
Demostrar que:
1) $(\sqrt{2}-i)-i(1-i\sqrt{2})=-2i$
2) $(2,-3)(-2,1)=(-1,8)$
3) $(3,1)(3,-1)(\frac{1}{5},\frac{1}{10})=(2,1)$
Grupo "B" Turno Matutino
1) Escribe los siguientes números en términos de $i$
$\sqrt{-100}$ Solución $\sqrt{-100}=\sqrt{(100)(-1)}=\sqrt{100}\sqrt{-1}=10i$
$\sqrt{-121}$ Solución $\sqrt{-121}=\sqrt{(121)(-1)}=\sqrt{121}\sqrt{-1}=11i$
2) Obtén el complejo conjugado de los números
$1-7i$ Solución $1+7i$
$2+30i$ Solución $2-30i$
3) Realiza las siguientes sumas
$(8+4i)+(16+10i)$ Solución $(8+4i)+(16+10i)=(8+16)+(4+10)i=24+14i$
$(2i-8)+(2+8i)$ Solución $(2i-8)+(2+8i)= (-8+2)+(2+8)i=-6+10i$
4) Realiza los productos
$(2-3i)(1+i)$ Solución $(2-3i)(1+i)=2(1+i)-3i(1+i)=(2+2i)-(3i+3i^2)=(2+2i)-(3i-3)=2+2i-3i+3=(2+3)+(2i-3i)=5-i$
$(8i+3)(-8i+3)$ Solución $(8i+3)(-8i+3)=((3)(3)+(8)(8))+(8-8)i=(9+64)+0i=73$
Grupo "A" Turno Vespertino
1) Demostrar que si $z=x+yi$ y $z^*=x-yi$ entonces $z\cdot z^*=x^2+y^2$
Solución $(x+iy)(x-iy)=x(x-iy)+iy(x-iy)=(x^2-ixy)+(ixy-y^2i^2)=x^2-ixy+ixy+y^2=x^2+y^2$
2) Resolver la suma $(4+i)+(-2i+2)$ Solución $(4+i)+(-2i+2)=(4+2)+(1-2)i=6-i$
3) Resolver la suma $(3-2i)+(-1+3i)$ Solución $(3-2i)+(-1+3i)=(3-1)+(3-2)i=-1+i$
4) Resolver el producto $(4+i)(-2i+2)$ Solución $(4+i)(-2i+2)=4(2-2i)+i(2-2i)=8-8i+2i-2i^2=8-6i+2=10-6i$
5) Grafica el punto $z=8+2i$ Solución Es el punto z=(8,2) donde en el eje x es 8 y en el eje $y$ es 2.
6) Encontrar el termino conjugado del número $z=i$ Solución $z^*=-i$
Grupo "B" Turno Vespertino
1) Escribir en números imaginarios $\sqrt{-81}$, $\sqrt{-100}$ y $\sqrt{-121}$
Solución
$\sqrt{-81}=\sqrt{81}\sqrt{-1}=9i$
$\sqrt{-100}=\sqrt{100}\sqrt{-1}=10i$
$\sqrt{-121}=\sqrt{121}\sqrt{-1}=11i$
2) Graficar los puntos $z_1=8+2i$, $z_2=-4+7i$, $z_3=-10-9i$ y $z_4=10$
Solución
3) Resolver la suma $(4+i)+(-2i+2)$ Solución $(4+i)+(-2i+2)=(4+2)+(1-2)i=6-i$
4) Resolver la suma $(3-2i)+(-1+3i)$ Solución $(3-2i)+(-1+3i)=3(-1+3i)-2i(-1+3i)=(-3+9i)-(-2i-3i^2)=-3+9i+2i-3=-6+11i$
5) Resolver la suma $(2+i)+(2-i)$ Solución $(2+i)+(2-i)=(2+2)+(i-i)=4$
6) Resolver el producto $(2+i)(2-i)$ Solución $(2+i)(2-i)=2(2-i)+i(2-i)=(4-2i)+(2i-i^2)=(4-2i)+(2i-(-1))=4+1-2i+2i=5$
7) Resolver el producto $(3-2i)(-1+3i)$ Solución $(3-2i)(-1+3i)=3(-1+3i)-2i(-1+3i)=(-3+9i)+(2i-6i^2)=(-3+9i)+(6+2i)=6-3+9i+2i=3+11i$
Si gustan leer más acerca de este tema vean la siguiente página
http://es.wikipedia.org/wiki/Número_imaginario
Tarea del 29/04/13 Turno Matutino
1) $\int \frac{2d\theta}{\theta}$
2) $\int \frac{sen\theta d\theta}{cos\theta}$
3) $\int \frac{e^{3x}dx}{1000-e^{-3x}}$
4) $\int \frac{(3x^2+2x+1)dx}{x^3+x^2+x}$
Tarea del 30/04/13 Turno Vespertino
1) $\int \frac{2d\theta}{\theta}$
2) $\int \frac{sen\theta d\theta}{cos\theta}$
3) $\int \frac{e^{3x}dx}{1000-e^{-3x}}$
4) $\int \frac{(3x^2+2x+1)dx}{x^3+x^2+x}$